(역학이야기) 공기저항을 받는 물체의 포물선운동

후~ 정말 정말 오래간만에 포스팅 하는군요
요즘 이것저것 바빠서 글을 쓸 시간이 없군요 딱히 포스팅할만한 주제가 떠 오르지도 않고..... 원래 이번에는 낙하하는 물체의 속도에 대한 글을 포스팅 하려고 했으나 이건 더 나중에 올리기로 하고 이번엔 그와 유사한 공기저항을 받는 물체의 포물선 운동에 대해 써 보도록 하겠습니다.

일반적으로 포물선 운동이라하면 고등학교 때 배우는 그리고 대학 초에 배우는 포물선 운동을 떠 올리실 테지만 공기저항을 고려하면 그 때 보다는 계산하기가 조금 어려워 집니다. 사실..... 조금 공부 하면 그다지 어려울 것들은 없지만...

공기저항을 고려한다는건 조금이나마 실제 상황을 고려하는 것이긴 하지만 어떤 물체의 실제 이동경로를 예측한다는건 굉장히 어려운 일 입니다. 공기 저항 외 회전, 풍향, 온도 등등을 고려해야 하는데 대부분 비선형이기 때문이죠 국내에는 이런걸 가르키는데가 없는듯?? 합니다. 탄도학이라는 학문에서 이런것들을 배울 수 있는데 국내에는 탄도학을 가르치는 학과가 없는것 같더군요 그나마 탄도학책이 한권 있긴 합니다만.

뭐.... 어쨋든 본론으로 들어가서.....
공기저항을 고려한 포물선운동을 파 헤쳐 보도록 하죠

역학문제를 계산할 때 가장 첫 번째로 해야할 것은 물리적으로 생각해 보는 겁니다.

 
요건 수평 방향이구요.. 누군가 물체를 던졌을 때 그를 막는 공기 저항이 작용 하겠죠!!



두번째 그림은 물체가 위로 날아갈 때와 떨어질 때의 그림입니다.
물체가 위로 올라갈 때에는 중력과 공기저항이 그 힘을 방해하지만 물체가 아래로 떨어질 때에는
중력과 떨어지려는 힘이 합쳐지고 공기 저항이 그 힘을 방해 하죠

사실 수평방향과 수직방향이 동시에 작용 하지만 직교 좌표계 개념으로 둘로 나누어 생각해 볼 수
있겠습니다. 이게 이해하기도 쉽고 계산하기도 쉬우니까요

그림 이해하셨으면 이번엔 수학적으로 계산 하기 위해 좌표계를 설정 하겠습니다.

말은 거창하게 했지만 그냥 2차원 평면 좌표계 입니다. ㅋㅋ 

자유물체도 그린 후 뉴튼역학을 적용하면

수평방향 : 모든힘 = -공기 저항

수직 방향
좌 : 모든힘 = -중력 -공기저항
우 : 모든힘 = 중력 -공기저항

그림만 봐도 이해 되시죠?
수평방향 이동은 하나의 방정식이 나오지만 수직방향은 두개가 나옵니다. 물체를 위로 던졌을 때 속도가 0이되는
지점이 가장 높이 올라가는 지점이겠죠? 즉 속도가 0이 되기 전과 그 이후...... 물체를 위로 던졌을 때 위로 올라
갈때와 아래로 떨어질 때의 방정식은 다르다는 겁니다.

물리적으로 이해하셨으면 이제 계산하면 됩니다. 뉴튼역학을 이용해서...... 훅~
풀이과정이과 공식을 같이 정리해서 이해하는데에는 어렵지 않지만 워낙 후다닥 쳐대다보니 틀린곳이 아마도
있을겁니다. ㅋ

계산과정을 전부 일일이 설명하기는 귀찮네요.... 정말 모르시겠으면 연락주세요
..... 아... 정말 해도 해도 안된다 백날 풀어도 이렇게 안나온다.... 그러면 제가 틀린걸 수도 있어요 ㅋ

위치, 속도, 가속도간 미적분 관계는 다들 잘 알고 계시죠??

위치를 미분하면 왜 속도가 되느냐? 미분이라는게 변화율을 의미 합니다. 그런데 속도는 얼마의 시간당 얼마의 거리를 이동했는가를 나타내는..... 즉 위치를 이동하는데 얼마나 빠르게 이동 했느냐를 나타내는 방법입니다. 위치가 어떻게 변화 했는가 변화율이라고 할 수 있죠... 그래서 위치를 미분하면 속도가 되고 그 반대로 속도를 적분하면 위치가 되는겁니다. 자세한 설명을 듣고싶으시면 연락 주세요..ㅋ

간단하게 그래프를 통해 다시 생각해 보도록 하죠 (Matlab소스는 마지막에 추가 하도록 하겠습니다)

좌측이 수평방향 우측이 수직방향 속도를 나타낸 그래프 입니다.
초반 속도가 급격히 감소하는 이유는 저항이 속도의 제곱에 비례하기 때문입니다. 그래프를 잘 살펴 보면...
수평방향 속도는 계속 감소 하니까 맞을거고,, 헷갈리는 부분은 우측 그래프일겁니다. 수직방향은 최초 던져질 때의 속도가 0이 될 때 까지 감소하다가 다시 층가 하겠죠? 사실 벡터로 따지면 속도가 0이 된 이후에는 - 방향으로 속도가 증가 하는게 맞는겁니다만 이해하기 쉽게 절대값으로 그렸습니다.

그런데,,, 속도가 0이 된 이후에 다시 속도가 증가할 때 계속 증가하지 않고 어느 부분에서 수렴하죠? 이건 다음에 물체의 낙하속도를 설명할 때 같이 설명하도록 하겠습니다.

좌측이 수평방향 이동거리 우측이 수직방향 이동거리입니다. 위의 속도 그래프를 이해 하셨다면 이것도 당연히 이해 하실겁니다.

여기까지 이해 하셨으면 끝!


글을 쓰다보니 별로 할 말이 없네요 수학 계산 하는것 말고는 물리적으로 어려운 부분도 없고...
다음번에 포스팅 할 물체의 낙하속도는 더 물리적으로는 더 쉽습니다. 오늘 포스팅한 부분에서 물체가 아래로 떨어질 때의 계산과 완전 똑같은 거니까요 근데 이번 내용에서 제가 뺀 부분이 유체역학적인 부분인데 다음번엔 이 부분을 포함해서 설명하려고 합니다. 풀이는 쉬워도 이해하기는 어려울 수 있습니다.

질문은 페북, 메일, 댓글로 실시간 입니다.


Matlab 소스입니다

%% Initialize

clear; clc;

figure(1);clf;

figure(2);clf;

%% Constant define

rho=1.166;

c_d=0.47;

A=0.316;

m=0.0567;

g=9.81;

v_x0=10;

v_y0=10;

a=rho*A*c_d/2;

b=m*g/a;

A=a*sqrt(b)/m;

B=atan(v_y0/sqrt(b));

num=1;

step=0.001;

t=0:step:num;

%% x Direction factor

s_x=(m/a).*(log(a.*v_x0.*t+m)-log(m));

v_x=(m*v_x0)./(a.*v_x0.*t+m);

%% y Direction factor

for i=0:1:num/step

temp=sqrt(b)*tan(-A*i*step+B);

if temp <= 0

v_y(i+1)= 0;

buff=i;

s_y0=-sqrt(b)/A*(log(abs(sec(-A*i*step+B)))-log(abs(sec(B))));

break

else

s_y(i+1)=-sqrt(b)/A*(log(abs(sec(-A*i*step+B)))-log(abs(sec(B))));

v_y(i+1)=temp;

end

end

for i=0:1:num/step-buff

s_y(i+1+buff)=s_y0-sqrt(b)/A*(log(cosh(A*i*step)));

v_y(i+1+buff)=sqrt(b)*tanh(A*i*step);

end

%% Draw graph

figure(1);

subplot(1,2,1);

plot(t,s_x);

xlabel('Time');

ylabel('x Direction Distance');

subplot(1,2,2);

plot(t,s_y);

xlabel('Time');

ylabel('y Direction Distance');

figure(2);

subplot(1,2,1);

plot(t,v_x);

xlabel('Time');

ylabel('x Direction Velocity');

subplot(1,2,2);

plot(t,v_y);

xlabel('Time');

ylabel('y Direction Velocity');